Фамилия Варвянсий — редкий случай, когда написание расходится с логикой словообразования. Скорее всего, перед нами искажённая или нестандартно записанная фамилия, и её исходная форма — Варвинский или Варвянский. Корень здесь — «варв-», что сразу отсылает к слову «варвар». Но в русской ономастике это не обязательно прозвище дикого или жестокого человека. В XVI–XVII веках «варваром» могли назвать иноземца, человека с тёмной кожей или просто того, кто говорил на непонятном языке. В северных и центральных губерниях России, где фамилии на -ский характерны для дворянства и духовенства, прозвище Варвар могло превратиться в фамилию Варвинский (по модели «чей?» — Варвин сын) или Варвянский (с суффиксом -ян-, указывающим на происхождение от личного имени или прозвища).

Суффикс -ский в фамилии Варвянсий (если это не ошибка переписчика) указывает на модель образования, типичную для польской шляхты, украинской старшины или русского духовенства. Такие фамилии часто закреплялись за выходцами из Западной Руси или Речи Посполитой. Не исключено, что предок носителя фамилии был священником, получившим фамилию по названию села или церкви — например, села Варваровка или храма в честь святой Варвары. В этом случае корень не «варвар», а агионим Варвара, и фамилия означает «принадлежащий к приходу святой Варвары». Версия с Варварой выглядит правдоподобнее: она объясняет мягкое окончание -ий (Варвянсий = Варваринский, где -ин- перешло в -ян- под влиянием южнорусских говоров).

Географически фамилия Варвянсий встречается крайне редко, в основном на юге России и в Беларуси. Написание с -ий на конце (а не -ый) — признак старой, дореволюционной орфографии, когда прилагательные в именительном падеже мужского рода писали через -ій. Так что нынешняя форма Варвянсий — это, возможно, застывшая запись из метрической книги или паспорта XIX века, которую не «исправили» на современный лад. Если ваш предок носил эту фамилию, ищите корни в Черниговской, Киевской или Могилёвской губерниях — там фамилии на -ский и -янский особенно распространены.