Основой фамилии Везденко послужило мирское имя Везден. Фамилия Везденко предположительно образована от дохристианского славянского имени Везден, которое, вероятно, связано со словом «везде» и означает «вездесущий». По другой версии, в основе фамилии Везденко лежит прозвище Везден, данное непоседливому человеку, который брался за множество дел, буквально успевал быть везде. Суффикс -енко указывает на то, что фамилия Везденко сфыормировалась под украинским влиянием. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Везден, со временем получил фамилию Везденко.