Фамилия Везденко — одна из тех, где за привычным звучанием скрывается редкая основа. Её ядро — древнее славянское имя Везден, которое в дохристианскую эпоху давали ребёнку как оберег или характеристику. Скорее всего, оно восходит к слову «везде»: имя Везден могло означать «вездесущий». В языческой традиции такое имя могло символизировать пожелание, чтобы человек был повсюду успешен, или же указывать на его неуёмную энергию.

Есть и более бытовая версия: прозвище Везден могли дать непоседливому человеку, который брался за множество дел и буквально успевал быть везде. В русских говорах такие люди нередко получали меткие прозвища, и это объяснение выглядит не менее убедительным, чем связь с древним именем.

На форму фамилии прямо указывает суффикс -енко. В украинской ономастике этот суффикс — один из самых распространённых: он означает «сын» или «потомок». Так что Везденко — это буквально «сын Вездена» или «потомок того, кого звали Везден». Фамилии на -енко массово закрепились на территории современной Украины в XVI–XVII веках, а затем вместе с миграциями распространились и в южные регионы России.

Таким образом, носитель фамилии Везденко, скорее всего, ведёт род из украинских или южнорусских земель, а его предок носил редкое имя или прозвище, которое подчёркивало всепроникающий характер или кипучую деятельность.