Фамилия Везденев — яркий пример того, как в русской ономастике застыло целое предложение. Её основа — глагольная конструкция «везде не» (везде нет, везде отсутствует). Это так называемая «отфразеологическая» фамилия, образованная от прозвища, которое давали человеку с необычным характером или обстоятельствами жизни.

Вероятнее всего, прозвище Вездень или Везденя (откуда и пошла фамилия через суффикс -ев) означало человека, которого «везде нет» — либо в прямом, бытовом смысле (непоседа, которого трудно застать дома, либо, наоборот, нелюдим, которого нигде не видно), либо в переносном, ироничном: так могли назвать того, кто вечно опаздывает или не успевает к сроку. В говорах слово «везде» могло произноситься как «вездё», и на стыке с частицей «не» возникла эта цельная основа. Суффикс -ев указывает на принадлежность: сын Везденя, то есть «Везденев» — «чей?» — потомок человека с таким прозвищем.

С точки зрения словообразовательной модели, фамилия редкая. В русском языке есть ряд фамилий, построенных по тому же принципу: Вездесущих (от «везде сущий»), Ненашев (от «не наш»), Незванов (от «не зван»). Но Везденев стоит особняком — в ней отрицание стоит не перед существительным или прилагательным, а перед наречием, что создаёт уникальную семантику. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные конструкции упоминаются как «фамилии-предложения», характерные для простонародной среды XVI–XVII веков, когда прозвища давались по поведению или внешности.

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным регионам России. В переписях XVII века встречаются единичные записи крестьян и посадских людей с прозвищем Вездень в Вятской и Костромской губерниях, но массового распространения фамилия не получила. В современной России она остаётся редкой, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска: если вы Везденев, ваши предки с высокой вероятностью жили в одной из этих областей и были крестьянами или ремесленниками.

Есть и альтернативная, менее правдоподобная версия: связь с диалектным словом «вездень» (ударный инструмент, молоток) или «везденец» (человек, который везёт, возчик). Но против неё говорит то, что в основе фамилии стоит именно частица «не», а не корень «вез-» (везти). Если бы прозвище происходило от возчика, мы бы имели форму Везенев или Везяев, а не Везденев. Поэтому версия с отрицанием «везде не» — основная и поддерживается большинством исследователей русских фамилий.