Фамилия Везденеева — редкий случай, когда прозвище предка почти наверняка описывало не его внешность или ремесло, а образ действий. Основа здесь — глагол «везде» и корень «-не-» (от «нести»). В старых говорах «вездене» означало «вездесущий», «всюду поспевающий». Человека, который всё успевал, совал нос во все дела или просто был очень подвижным, могли дразнить Везденей. От этого прозвища и пошла фамилия: Везденя → Везденеев (чей? — сын Вездени) → Везденеева.

Суффикс -еев (а не -ев) здесь не случаен. Он указывает на мягкую основу: прозвище оканчивалось на -я (Везденя), поэтому притяжательное прилагательное образовалось через -еев. Такая модель встречается реже, чем стандартная -ов/-ев, поэтому фамилия Везденеев заметно выделяется на фоне соседних по сословным спискам.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южнорусским областям — Тамбовской, Воронежской, Рязанской. В этих краях диалектное слово «вездене» бытовало дольше, чем на севере. Встречается она и в Поволжье, куда переселенцы принесли её в XVIII–XIX веках.

Спорных версий почти нет. Иногда корень пытаются связать с личным именем Вездей (гипотетическая форма от Всеволода), но это натяжка: имя Вездей нигде не зафиксировано, а прозвище Везденя — живое, понятное без словаря. Так что перед нами яркий пример «характерологической» фамилии: предок получил её не по отцу и не по профессии, а за то, что везде успевал.