Фамилия Влащнко — редкий случай, где написание почти наверняка искажено. В русском языке нет суффикса -щнк-, а искомая фамилия, скорее всего, записана на слух. Правильная и самая вероятная исходная форма — Влащенко. Ошибка «щ» вместо «щ» — типичная описка или опечатка, возникшая из-за того, что в некоторых говорах «сч» произносится как долгое мягкое «щ».

Если отбросить опечатку, перед нами украинская фамилия на -енко, что означает «маленький», «потомок» или «ученик». Основа — Влащ- (читай: Власч-). Это производное от имени Влас (греч. Власий, от «влас» — простоволосый, нестриженый). В украинской традиции имя Влас давали детям, родившимся в день святого Власия (11 февраля по ст. стилю), покровителя скота. Форма «Влащенко» — это «сын Власа» или «маленький Влас».

Суффикс -енко в XVII–XVIII веках массово закрепился на Левобережной Украине (Полтавщина, Черниговщина, Слобожанщина). Носители фамилии Влащенко (в исходном написании) — потомки казаков или крестьян, получивших фамилию по имени отца. Влас — имя нередкое, но не самое популярное, поэтому фамилия встречается нечасто.

Встречается и вариант Влащенков — русифицированная форма, где к украинскому суффиксу добавили русский -ов. Но форма на -енко — исходная и более старая. Если вы встретили написание «Влащнко» в документе, стоит проверить оригинал: скорее всего, буква «е» пропущена при переписи или из-за неразборчивого почерка.