Фамилия Войщев — редкая и морфологически прозрачная, но с неочевидной основой. Суффикс -ев указывает на образование от прозвища или имени, оканчивающегося на мягкий согласный или -й. В данном случае основа — «Войщ» (или «Войща»), что сразу отсылает к древнерусскому слову «вой» — воин, ратник. Однако напрямую «вой» дало бы фамилию Воев или Войнов. Здесь же мы видим суффикс -щ-, который может быть результатом чередования или диалектного произношения.

Скорее всего, в основе лежит прозвище Войща — уменьшительно-уничижительная форма от «вой» (ср. «воище» — большой воин, но с оттенком просторечия). В говорах северных и центральных губерний -ща иногда добавляли к основам для экспрессии: Войща — не просто воин, а «вояка», боевой, задорный человек. Такое прозвище могли дать либо опытному служилому, либо, наоборот, хвастуну, который любил рассказывать о битвах. Фамилия Войщев закрепилась в форме притяжательного прилагательного: «чей?» — Войщев, то есть сын или потомок Войщи.

Второй, менее вероятный вариант — связь с топонимом. В польском и белорусском языках есть корень «woj» (война), от которого образованы названия вроде Войще (деревня в Беларуси). Переселенец из такого места мог получить фамилию по названию села, но тогда она скорее звучала бы как Войщицкий или Войщевский. Форма на -ев характерна для прозвищной модели, а не для географической.

Ономастические справочники (например, работы Б. Унбегауна) не выделяют Войщева в отдельную статью — фамилия нечастотная. Встречается она преимущественно в западных областях России (Смоленщина, Брянщина) и на юге Беларуси, что косвенно подтверждает связь с местными диалектами, где «вой» и «вояка» были в ходу. Сословно предки Войщевых, скорее всего, относились к крестьянам или однодворцам — фамилия не дворянская, без суффикса -ский.

Таким образом, главная версия: Войщев — потомок человека, которого в деревне прозвали Войщей за воинственный нрав или боевое прошлое. Фамилия сохранила живую разговорную окраску, не перейдя в книжную форму.