Фамилия Вязикина — женская форма фамилии Вязикин, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель на -ин (а не на -ов) указывает на древнюю традицию: в северных и центральных русских говорах притяжательные фамилии образовывали от основ, оканчивающихся на гласный или мягкий согласный. Вязикин — буквально «сын Вязики», а Вязика — это прозвище или уменьшительное имя.

Основа «вяз-» многозначна, и здесь как раз случай, когда нужно разобрать две версии, не отбрасывая ни одну. Первая, самая прозрачная: от названия дерева — вяз. Прозвище Вяз или Вязик могли дать человеку крепкому, коренастому, «вязкому» (настойчивому, упрямому). В русских говорах слово «вязига» (сухожилие, хрящ) тоже шло в ход для прозвищ — так называли жилистого, худощавого человека. Однако фамилия Вязикин, скорее всего, связана с ремеслом: вязига — это ещё и верёвка, бечёвка, а «вязик» в некоторых диалектах — мастер по плетению, вязанию. Предок мог быть веревочником, рыбаком, плетущим сети, или бондарем, который «вяжет» обручи на бочки.

Вторая версия — топонимическая. В России есть несколько рек с названием Вязьма, Вязовка, а также деревни Вязики (например, в Кировской области). Фамилия Вязикин могла закрепиться за крестьянином, переселённым из такого селения, или за человеком, который жил «на вязи» — у вязкого, топкого берега. В ономастических словарях (например, у Б. Унбегауна) подобные фамилии на -ин часто связывают именно с местом жительства, если прозвищная основа неочевидна.

Интересно, что фамилия Вязикин встречается реже, чем однокоренные Вязов, Вязников или Вязьмин. Это говорит о том, что она могла быть локальной — характерной для одной губернии или даже одного уезда. По переписям XIX века носители фамилии чаще фиксировались в Вятской и Пермской губерниях, где было много переселенцев с севера. Социальный состав — в основном государственные крестьяне, реже мещане. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что типично для «ремесленных» и «географических» прозвищ, не попавших в гербовники.

Так что Вязикина — фамилия с прозрачной, но не однозначной этимологией. Её носительница могла происходить от мастера-плетельщика, от коренастого крестьянина или от выходца с берегов реки Вязьмы. Точнее сказать можно только по конкретным архивным записям, но в любом случае основа фамилии — живая, бытовая, от земли и ремесла, а не от книжного имени.