Фамилия Ядрина — женская форма, а её мужской вариант — Ядрин. Она образована по простой и распространённой модели с суффиксом -ин, который в русских фамилиях указывает на принадлежность: «чей?» — «сын Ядры». Основа здесь — прозвище или нецерковное имя Ядра. Что оно означало — вопрос, на который у ономастов нет однозначного ответа, и это как раз тот случай, когда стоит разобрать версии.

Самое прямое объяснение: ядро — сердцевина, косточка плода, а в переносном смысле — крепыш, плотный, коренастый человек. В старых говорах «ядреный» значило «крепкий, здоровый, крупный». Так могли прозвать сильного мужчину или ребёнка, который рос не по дням, а по часам. Эта версия самая правдоподобная, потому что опирается на живую народную лексику: прозвища по внешности или характеру давали часто.

Есть и другая, менее вероятная гипотеза: связь с диалектным словом «ядро» в значении «пушечное ядро». Тогда прозвище Ядро мог получить бомбардир, пушкарь или просто человек с тяжёлой рукой. Но для крестьянской среды, где фамилии в основном и складывались, такое толкование натянуто — артиллеристы были редки, а прозвища по оружию давали нечасто.

Географически фамилия Ядрин встречается в Поволжье и на Русском Севере, но не имеет массового распространения. Интересно, что существует город Ядрин в Чувашии, однако название города восходит к марийскому слову, и связь фамилии с топонимом маловероятна: скорее всего, это случайное совпадение, а не указание на происхождение из тех мест.

Словообразовательно фамилия стоит в ряду однокоренных: Ядров, Ядрышников (от «ядрышко» — уменьшительное), Ядренкин. Все они редкие, что говорит о локальном бытовании прозвища. Если ваш предок носил фамилию Ядрин, скорее всего, он был крестьянином или посадским человеком, а основатель рода получил прозвище за статность и силу.