Фамилия Якушиина — редкий случай, когда женская форма написания с двумя «и» подряд закрепилась в документах. Обычно в русских фамилиях на -ин женский вариант выглядит как Якушина, но двойное «и» (Якушиина) — это либо результат старого написания (например, в метрических книгах могли записать «Якушиина» через ять или с опиской), либо особенность склонения в некоторых говорах, где окончание -иин передавало долгий звук. В любом случае, основа фамилии мужская — Якушиин или, что вероятнее, исходная форма Якушин.

Разбираем корень. Основа «Якуш» — это народная, уменьшительная форма имени Яков. В русских говорах Якова называли Якушом, Якушей, Якунькой. Суффикс -ин стандартно указывает на принадлежность: «чей?» — «Якушин», то есть сын, потомок или человек из семьи Якуша. Такая модель образования типична для северных и центральных областей России, где фамилии на -ин часто фиксировали прозвище или имя отца.

Интересная деталь: фамилия Якушиин (и её женский вариант) встречается крайне редко. По переписям XIX века основные очаги — Вятская и Пермская губернии, где было много старообрядцев, сохранявших архаичные формы записи. Там же бытовали однокоренные фамилии: Якушев, Якушов, Якушин. Если ваш предок носил фамилию Якушиин, скорее всего, он был из крестьян или мещан Приуралья, а прозвище Якуш могло закрепиться за человеком по имени Яков или за тем, кого в округе называли «якушом» — так в некоторых диалектах называли болтливого или суетливого человека (от глагола «якушать» — говорить без умолку).

Встречается и версия, что фамилия могла произойти от географического названия — деревни Якуши или Якушино, но тогда суффикс был бы -ский (Якушинский), а не -ин. Поэтому основной путь — от имени или прозвища Якуш. Двойное «и» в конце — это либо графический курьёз старых переписей, либо сознательное сохранение формы, отличающей носителей от более распространённых Якушиных.