Фамилия Яременчук — характерный пример украинской фамилии с патронимическим суффиксом -чук. Эта модель, одна из самых распространённых на Правобережной Украине, в Подолье и на Волыни, означает «потомок» или «сын» человека, названного в основе. В данном случае основа — Ярёма, украинская народная форма крестильного имени Иеремия (древнееврейское «возвышенный Богом»). Соответственно, Яременчук — это «сын Ярёмы», то есть Иеремии.

Интересно, что имя Иеремия в православных святцах встречалось не так часто, как, скажем, Иван или Пётр. Однако в украинской среде оно приобрело устойчивые просторечные варианты: Ярёма, Ярема, Ярёмка. От этих форм, помимо Яременчука, появились фамилии Яременко, Яремчук, Ярема, Ярёмкин. Ваш вариант с суффиксом -чук указывает на более позднее формирование (примерно XVI–XVII века) и закрепление в западных регионах современной Украины, где такие окончания вытеснили более древние формы на -енко.

Сословно фамилия не была закреплена за знатью или духовенством. Скорее всего, первый носитель — Яременчук — был крестьянином или казаком. В реестрах Войска Запорожского встречаются похожие прозвища, что говорит о возможной казацкой среде. Географически фамилия до сих пор чаще всего встречается в Винницкой, Хмельницкой, Житомирской областях, а также в диаспоре в Канаде и Бразилии, куда украинцы выезжали в конце XIX — начале XX века.

Если смотреть на словообразовательную цепочку, то она прямая: библейское Иеремия → разговорное Ярёма → притяжательное «Ярёмин сын» → Яременчук. Никакого тюркского или польского влияния здесь нет, несмотря на то, что фамилия звучит необычно для русского уха. В написании возможна вариация через «ё» (Ярёменчук), но в документах закрепился вариант с «е», так как в украинском языке буква «ё» не используется в начале слов после согласных.