Фамилия Яремнко звучит непривычно для русского уха — и это главная подсказка. Перед нами украинская фамилия, образованная по продуктивной восточнославянской модели с суффиксом -енк(о), который в украинском языке означает «маленький», «сын» или «потомок». Основа — Ярем-, и здесь начинается самое интересное.

Чаще всего фамилии на -енко производили от личных имён. Яремнко, скорее всего, восходит к производной форме крестильного имени Иеремия (древнееврейское «возвышенный Богом»). В украинской народной традиции это имя давало варианты Ярема, Яремко. Суффикс -енко добавили к основе Ярем-: Яремко → Яремченко → Яремнко. Возможно, что -н- появилась как результат стяжения или диалектного произношения: Яремко + енко дало Яремнко, минуя промежуточную форму. Модель типична для Поднепровья, Полтавщины и Черниговщины — регионов, где фамилии на -енко в XVII–XVIII веках стали массово фиксировать у казаков и крестьян.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с прозвищем от украинского «ярем» (ярмо). Так могли назвать человека, который работал с упряжью, или, в переносном смысле, терпеливого, покорного. Однако в фамилиях на -енко основа обычно имени, а не нарицательная, и прозвищная версия слабее.

Фамилия Яремнко — редкий пример, где суффиксальная модель сохранилась в усечённом виде, без типичного «ч» перед -енко (сравните: Яремченко — более частая форма). Это может говорить о том, что фамилия закрепилась в одном роду, где произношение упростили, или о записи в метрических книгах «на слух» — писарь не стал добавлять лишнюю букву. В России фамилия встречается редко, в основном у потомков переселенцев с Украины.