Фамилия Ясицкая — женская форма фамилии Ясицкий, и её разумнее рассматривать в паре с мужским вариантом. В основе фамилии лежит прозвище или имя Яс (Ясь), которое могло быть как сокращённой формой крестильного имени Иаков (в народной форме Яков), так и самостоятельным прозвищем от прилагательного «ясный» — светлый, понятный, чистый. В белорусском и украинском языках «ясны» также могло означать «ясный сокол» или относиться к человеку со светлыми волосами и глазами.

Суффикс -ицк-/-цк- указывает на географическое происхождение: такую фамилию обычно получали по названию места, откуда был родом человек. В польской и западнорусской ономастике фамилии на -ский/-цкий первоначально носили дворяне, но со временем они распространились и среди крестьян, особенно после отмены крепостного права, когда бывшим крепостным нередко давали фамилии по названиям деревень. Вероятно, предок носителей фамилии Ясицкий происходил из населённого пункта с корнем Яс-: Ясиново, Ясинец, Ясеница или подобного. Такие топонимы особенно часты в Беларуси и на западе Украины.

Интересная деталь: в белорусском языке имя Ясь — это уменьшительная форма не только от Яков, но и от Ян (Иван). Поэтому фамилия могла возникнуть в разных регионах независимо, от разных имён. Встречается она преимущественно на территории бывшего Великого княжества Литовского — в современной Беларуси, на Смоленщине, в восточной Польше. В России фамилия редкая и, скорее всего, принесена переселенцами с запада.

Социальный контекст: если фамилия действительно образована от топонима, её носители могли быть как шляхтой (мелкопоместные дворяне, владевшие деревней Ясино), так и крестьянами, которых записали по месту жительства. Установить точнее без генеалогического поиска по конкретной семье невозможно.