Фамилия Заклинская — это женская форма, образованная от мужской фамилии Заклинский. В основе лежит топоним — название населённого пункта с корнем «Заклин-». Таких мест в России и соседних славянских странах несколько: например, деревня Заклинье в Псковской или Новгородской областях. Прилагательное «заклинский» означало «расположенный за клином» — то есть за участком леса, полем или излучиной реки, которые в народе называли клином. Так что предки носительницы фамилии, скорее всего, происходили из села или деревни с таким названием.

Модель образования типична для дворянских и шляхетских фамилий Речи Посполитой, а затем и Российской империи: суффикс -ский/-цкий указывал на принадлежность к местности. В XVII–XIX веках такие фамилии часто давали священникам, мещанам и обедневшим дворянам, которые брали фамилию по месту рождения или службы. В отличие от крестьянских фамилий на -ов/-ин, Заклинская выдаёт более позднее, книжное происхождение — её могли оформить при поступлении в семинарию или при получении дворянского звания.

Интересно, что фамилия не имеет вариантов с буквой «о» (вроде Заклонская) — корень «клин» сохраняется устойчиво, что сужает круг возможных исходных топонимов. Встречается она преимущественно на западе России, в Беларуси и на Украине, что подтверждает её польско-литовские корни. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах уездов, где были деревни Заклинье, — скорее всего, они были либо мелкими помещиками, либо духовенством.