Фамилия Заремские — и её мужская форма Заремский — принадлежит к числу так называемых «говорящих» прозвищных фамилий. В её основе лежит не имя и не географическое название, а черта характера или поведение. Украинский глагол «заремствувати» означает «роптать», «ворчать», «брюзжать» или «изъявлять неудовольствие». Отсюда прямое прозвище Заремский — человек, который постоянно чем-то недоволен, жалобщик или брюзга.

Но здесь стоит присмотреться к модели образования. Суффикс -ский в славянских фамилиях чаще всего указывает на принадлежность к месту или к знатному роду (княжеские, шляхетские фамилии). В случае с Заремскими это исключение: прозвище по характеру оформлено «благородным» суффиксом. Вероятно, так закрепилось за человеком, который выделялся своим нравом, а не сословием. В быту это прозвище могло звучать иронично или даже уважительно — в зависимости от того, кто его давал.

Существовал и обратный, обережный обычай: дать ребёнку прозвище с отрицательным значением, чтобы отвести от него злые силы. Родители могли назвать сына Заремским, желая ему на самом деле покладистого и радостного нрава — как бы «наоборот». Такая практика была распространена в славянских семьях, где верили, что имя или прозвище может защитить от сглаза.

Менее убедительная версия связывает фамилию с восточным именем Зарема («алая заря»). Лингвистически это сомнительно: имя Зарема — тюркского происхождения, а суффикс -ский — типично славянский, и они редко сочетаются в одной фамилии естественным путём. Скорее всего, это позднее переосмысление, когда забылось исходное значение прозвища.

Фамилия Заремские — не массовая, но и не редкая. Встречается в записях на территории бывшей Речи Посполитой, особенно на западе современной Украины и в Беларуси. Там прозвища на -ский были особенно распространены среди мещан и крестьян, которые могли перенимать шляхетскую форму фамилии. В более поздние времена носители фамилии расселились по центральной России и Сибири.

Окончательно установить, где и когда конкретный род Заремских получил свою фамилию, можно только через архивные разыскания — метрические книги, ревизские сказки. Но ясно одно: фамилия эта не географическая и не вотчинная, а прозвищная, и говорит она скорее о характере предка, чем о месте его жительства или занятии.