Фамилия Заремский нередко вызывает ассоциации с восточным именем Зарема, но её происхождение, скорее всего, совсем иное. В основе фамилии лежит прозвище, образованное от украинского глагола «заремствувати» — «роптать», то есть ворчать, брюзжать, выражать неудовольствие. Это прямо указывает на характер человека: основатель рода мог быть впечатлительным, ранимым и склонным к обидам.

Однако не стоит воспринимать такое значение буквально. На Руси был распространён суеверный обычай давать детям «охранительные» прозвища — намеренно противоположные тому, чего желали родители. Считалось, что если назвать ребёнка Заремским (то есть «ворчливым»), злые силы не позарятся на него, и он вырастет жизнерадостным и покладистым. Таким образом, прозвище могло служить оберегом, а не отражать реальный нрав предка.

Менее правдоподобная версия связывает фамилию с восточным женским именем Зарема, которое переводится с арабского как «алая заря». Но для славянской фамилии с типичным суффиксом -ский такая основа маловероятна: суффикс -ский в русских фамилиях чаще указывает на географическую или прозвищную, а не на лично-именную основу.

По своему строению фамилия Заремский относится к типичной для шляхты и духовенства модели на -ский. В польской и украинской традиции такие фамилии могли указывать на владельца поместья или выходца из местности с похожим названием (например, Зарембы или Заречье). Но в данном случае конкретной географической привязки нет — корень «зарем-» не образует известных топонимов.

Итак, перед нами прозвищная фамилия с охранительным смыслом. Передаваясь из поколения в поколение, она хранит память о древнем обычае — через имя защищать ребёнка от превратностей судьбы.