Фамилия Заремова — женская форма фамилии Заремов, которая в свою очередь восходит к прозвищу Зарем. Корень здесь — «зар», тот же, что в словах «заря», «зарево». В русских говорах «зарем» или «зарема» могло означать либо человека, который любит встречать или провожать зарю (например, пастуха, встававшего до света), либо того, кто связан с ярким, заметным, «горящим» внешним видом — рыжий, с румянцем, с огненным характером. Слово «зарево» в переносном смысле применяли к людям вспыльчивым, бурным, «полыхающим» гневом или страстью.

Модель образования типична для русских фамилий: прозвище на твердый согласный (Зарем) плюс патронимический суффикс -ов, то есть «сын Зарема». В документах XVII–XVIII веков встречаются крестьяне и посадские люди с прозвищем Зарем в центральных и южнорусских губерниях — Тульской, Рязанской, Воронежской. Вероятно, именно оттуда фамилия распространилась дальше.

Есть и менее очевидная версия: связь с географическим названием Заря, Зарево — села и деревни с такими именами часто давали прозвища переселенцам («откуда пришел? — из Зарева»). Но для фамилии Заремов это скорее вторичный вариант, так как суффикс -ов в таком случае присоединялся бы к основе Зарев- (Заревов), а не к Зарем-. Различие в одну букву (м вместо в) здесь принципиально: «зарем» — это самостоятельное прозвище, а не искаженное «зарев».

Фамилия редкая, в списках массовых русских фамилий не фигурирует. Встречается в основном на юге России и в Поволжье, иногда у казачества. В женской форме Заремова она фиксируется с XIX века, преимущественно в мещанских и крестьянских семьях. Дворянских родов с такой фамилией не известно.