Фамилия Заремук — один из тех случаев, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Её основа — не русское, а адыгское (черкесское) слово, и носители фамилии в подавляющем большинстве — адыги, кабардинцы или черкесы. Если вы встретили Заремука, скорее всего, его корни ведут на Северный Кавказ, в Кабардино-Балкарию, Адыгею или Карачаево-Черкесию.

Разбираем словообразовательную модель. Суффикс -ук (/ -ыкъу) — типичный адыгский фамильный формант, который в русской передаче часто выглядит как -ук, -уков или -оков. Он указывает на принадлежность к роду: буквально «сын такого-то» или «из рода такого-то». В основе — имя или прозвище Зарем. Само имя Зарем (или Зарим) — распространённое мужское имя у адыгов, которое восходит к арабскому «зарим» — «решительный», «твёрдый» или «проницательный». Таким образом, Заремук — это «потомок Зарема» или «из рода Зарема».

Есть и более бытовая версия, которую приводят в местных генеалогических обсуждениях: прозвище могло образоваться от адыгского «зарэ» — «свет», «сияние», с добавлением «мыкъу» — «сын». Тогда Заремук — «сын света» или «сияющий сын». Но это скорее народная этимология: имя Зарем в адыгской среде зафиксировано и без прозвищной нагрузки, поэтому версия с личным именем выглядит надёжнее.

Фамилия не имеет отношения к славянским корням. Встречающиеся в интернете попытки связать её с русским «зарево» или «заря» ошибочны: в русском языке суффикс -мук нехарактерен, а слово «зарево» дало бы формы Зарев, Заревин, Заревский. Заремук — чистый кавказец по происхождению.

Социально фамилия не указывает на конкретное сословие: среди адыгов её носили и княжеские (уоркские) роды, и свободные общинники (тфокотли). В советское время фамилия распространилась за пределы Кавказа — носители встречаются в Москве, Краснодарском крае, Ставрополье. Письменная фиксация в метрических книгах и ревизских сказках началась в XIX веке, когда российская администрация записывала адыгские фамилии на русский лад, отсюда и написание через «у» с твёрдым знаком на конце (Заремукъ), которое позже упростилось.