Фамилия Зарембое — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает происхождение. На первый взгляд, она выглядит как типичная русская фамилия с суффиксом -ов: Иванов, Петров, Зарембов. Но здесь окончание -ое, а не -ов. Это не ошибка переписи, а характерная черта фамилий, образованных от польских или украинских основ, которые в русском языке получили окончание прилагательного среднего рода. Такую форму иногда называют «стяжённой» или «окающей»: вместо Зарембов (чей? — сын Заремба) получилось Зарембое (какой? — относящийся к Зарембе).

Основа фамилии — прозвище Заремба. В польском и западноукраинском языках «заремба» (zaremba) означает «зарубка», «насечка» или «зазубрина». Прозвище могли дать человеку с зазубренным инструментом, с неровным зубом или, по другой версии, тому, кто делал зарубки на деревьях в лесу — метил границы участков или оставлял знаки для охотников. Есть и более прозаичное объяснение: в говорах так называли задиристого, сварливого человека — «с зазубриной» в характере.

Суффикс -ой в окончании вместо -ов указывает на то, что фамилия закрепилась на русской почве, но её носители, скорее всего, происходят из западнорусских земель (Смоленщина, Брянщина) или из Беларуси, где польское влияние было сильным. В XIX веке при адаптации польских фамилий в русских документах часто возникали подобные гибридные формы: основа оставалась польской, а окончание становилось русским, но нестандартным.

Стоит отметить, что фамилия крайне редкая. В современных базах данных встречаются единичные носители, преимущественно в центральной России. Это не массовая фамилия вроде Зарембов или Зарембский — те встречаются чаще и указывают на польское дворянское происхождение. Зарембое же, скорее всего, крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в результате канцелярской записи: писарь услышал прозвище Заремба и записал его в форме притяжательного прилагательного, но не по общему правилу на -ов, а по аналогии с прилагательными на -ой (как Толстой, Босой).