Фамилия Заремская по своему происхождению связана с прозвищем Заремский. Его корни уходят в украинский язык, где глагол «заремствувати» означает «роптать» — ворчать, брюзжать, выражать недовольство или обижаться. С этой точки зрения основатель рода мог быть человеком ранимым и впечатлительным, склонным к переживаниям.

Однако в народной традиции прозвищам нередко придавали охранительное значение. Существовал обычай давать ребёнку имя или прозвище с противоположным смыслом, чтобы обмануть злые силы и уберечь его от бед. В этом случае прозвище Заремский могло служить оберегом: родители желали видеть сына жизнерадостным и покладистым, а потому назвали его «ворчливым» — наоборот.

Менее убедительная версия связывает фамилию с восточным женским именем Зарема, которое в переводе с арабского означает «алая заря». Такое объяснение выглядит натянутым, поскольку суффикс -ск- в фамилии типичен для прозвищ, образованных от нарицательных слов, а не от личных имён.

Сама фамилия Заремская — женская форма от Заремский, и её окончание указывает на принадлежность к роду Заремских. Такая модель (на -ский/-ская) в прошлом была характерна для польской и украинской шляхты, а позже распространилась и среди других сословий. Фамилия передавалась из поколения в поколение и по сей день хранит память о прозвище, которое когда-то дали предку — то ли за его характер, то ли с охранительной целью.