Фамилия Заемская — одна из тех, что не лежат на поверхности. Она явно образована от географического названия, но вот от какого именно — здесь возможны варианты. Суффикс -ск- (в форме -ская) указывает на принадлежность к месту: такую фамилию мог получить человек, владевший землей или живший в селе с названием Заемское, Заемка или Займище. В русской топонимике «займище» — это не просто «занятое место», а конкретный тип поселения: участок земли, занятый под пашню или сенокос, часто в пойме реки, с особым правом пользования. В разных говорах слово «заем» или «займище» означало также «заимка» — хутор, отдельный двор на новом месте.

География фамилии сужает поиск. Заемские встречаются в центральных и южных регионах России, особенно в бывших Рязанской, Тамбовской и Воронежской губерниях. Там есть и сейчас деревни с корнем «займище» — например, Займище в Тверской области или Заемское в Ярославской. Скорее всего, предок носителя фамилии был либо крестьянином, получившим прозвище по месту жительства (житель Заемского), либо помещиком, чья вотчина называлась так же. Второй вариант менее вероятен, но не исключен: дворянские фамилии на -ский/-цкий часто образовывались от названий родовых имений.

Есть и более редкая версия: связь с глаголом «заиметь» или «занять». В старину «заем» — это долг, ссуда. Фамилия могла возникнуть как прозвище человека, который постоянно брал в долг или, наоборот, давал взаймы. Но топонимическое объяснение выглядит убедительнее: окончание -ская типично для «географических» фамилий, а не для прозвищных, которые чаще оформлялись суффиксами -ов/-ев или -ин.

В любом случае, Заемская — фамилия редкая. В дореволюционных метрических книгах она встречается спорадически, в основном в крестьянской среде. Сейчас ее носители живут в разных регионах, но связь с южнорусскими областями прослеживается довольно четко. Если вы ищете свои корни, стоит начать с карт Рязанской и Тамбовской губерний — там, скорее всего, и находится то самое «займище», от которого пошла фамилия.