Фамилия Завольскова — женская форма фамилии Завольсков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или географического названия с помощью суффикса -ск-. Этот суффикс в русских фамилиях чаще всего указывает на связь с местностью: так называли человека, который откуда-то родом или владел землей. В данном случае основа — «Завольск», то есть «тот, кто находится за Волгой» или «заволжский». Сращение предлога «за» с названием реки дало прозвище, которое закрепилось как фамилия.

Обычно фамилии на -ский/-ской в XVIII–XIX веках получали дворяне по названиям своих имений, но Завольсков — скорее исключение. Скорее всего, предок носителя этой фамилии был не помещиком, а крестьянином или мещанином, которого переселили за Волгу, или он сам ушел туда осваивать новые земли. В русской ономастике известны случаи, когда прозвище «Завольский» давали человеку, жившему на левом, «луговом» берегу Волги, в отличие от «горной» стороны. Встречается и вариант Завольский, но форма с суффиксом -ов- (Завольсков) указывает на притяжательное значение: буквально «сын Завольского».

В говорах слово «заволочье» означало не только земли за Волгой, но и глухую, удаленную местность. Так что фамилия могла закрепиться за выходцем из отдаленного края, куда люди бежали от барщины или рекрутчины. Фамилия редкая, сосредоточена в основном в Поволжье и на Урале — регионах, куда в XVII–XIX веках активно переселялись крестьяне из центральных губерний. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Заво́льскова, хотя в народной речи возможны варианты.