Фамилия Зажирей звучит настолько необычно, что сразу хочется спросить: это прозвище, опечатка или искажённое заимствование? Разбираем по порядку.

Главная версия — прозвищное происхождение от глагола «зажиреть» в значении «потолстеть, набрать вес» или, в переносном смысле, «разбогатеть, зажить в достатке». В русских говорах слово «жир» ассоциировалось не только с тучностью, но и с богатством, изобилием: «жировать» значило «роскошествовать, пировать». Соответственно, Зажирей — тот, кто «зажирел», то есть разбогател или растолстел. Прозвище могли дать либо зажиточному крестьянину, либо человеку с заметной полнотой.

Модель образования фамилии нестандартная. В русской ономастике преобладают суффиксы -ов, -ев, -ин, а здесь мы видим нулевой суффикс и окончание, как у существительных мужского рода в именительном падеже (типа «богатей», «грамотей»). Такая форма характерна для прозвищ, которые закрепились в качестве фамилий без дополнительной переделки — особенно в южнорусских и украинских регионах, где была распространена модель «прозвище = фамилия». Поэтому Зажирей могло быть и прямым прозвищем, и фамилией, возникшей из него.

Вторую версию, хоть и менее вероятную, нельзя сбрасывать со счетов: возможно, это искажённое «Зажарь» или «Зажарей» (от «жарить»), но фонетически переход «а» в «и» под ударением необъясним. Также встречается гипотеза о связи с топонимом — например, с названием урочища или речки, но конкретных географических объектов с таким корнем в исторических источниках не зафиксировано.

С точки зрения социального контекста, фамилия Зажирей могла принадлежать крестьянам или мещанам — в дворянской среде такие «говорящие» прозвища почти не встречались. Встречаемость фамилии крайне низкая, она не входит в списки распространённых русских фамилий, что говорит о её локальном бытовании, возможно, в одной-двух губерниях.

В итоге: Зажирей — редкая фамилия-прозвище, прямо указывающая на достаток или внешность предка. Если вы её носите, скорее всего, ваши корни — в южнорусских или украинских землях, а предок был либо плотным человеком, либо, что вероятнее по духу языка, человеком, который «зажил хорошо».