Фамилия Зажогин — хороший пример того, как русская фамилия может быть образована от глагола, причём не от имени или профессии, а от прозвища, данного за характер или поведение. В основе лежит глагол «зажечь», а точнее — его южнорусская или просторечная форма «зажог» (с ударением на второй слог). В старых говорах так могли сказать вместо литературного «зажёг». От этого слова и пошло прозвище Зажога — человек запальчивый, вспыльчивый, тот, кто «загорается» с полуслова. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Зажогин — сын или потомок Зажоги.

Интересно, что фамилия Зажогин вписывается в ряд однокоренных прозвищных фамилий: Зажигаев, Зажогин, Зажегин. Разница в написании — результат местных диалектов: где-то говорили «зажог», где-то «зажёг», а где-то «зажига». Все они, скорее всего, описывали один и тот же тип темперамента. В отличие от фамилий, образованных от ремёсел или географических названий, такие «характерные» фамилии редко привязываются к конкретной местности — их носители могли появиться где угодно, от северных до южных губерний.

Есть и более редкая версия, которую иногда встречаешь в краеведческих заметках: прозвище Зажога могли дать не за характер, а за работу — например, кузнецу, который разжигал горн, или тому, кто зажигал свечи в церкви. Но эта гипотеза слабее: для обозначения профессии в русской традиции обычно использовали названия по действию (Кузнецов, Свечников), а не однократное глагольное прозвище.

С точки зрения словообразования фамилия прозрачна: корень «жог-», приставка «за-», суффикс «-ин». Она не относится к числу редких, но и не массовая — встречается в основном в центральных и южных областях России. Если ваш предок носил фамилию Зажогин, скорее всего, в его окружении знали его как человека вспыльчивого, но отходчивого — «зажёгся и погас».