Фамилия Зазыбо — редкая и нестандартная для русского уха. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, а значит, перед нами не патроним (не «чей-то сын»), а застывшее прозвище в чистом виде. Такие фамилии чаще встречаются на Украине и в Беларуси, где глагольные формы вроде «Зазыбо» могли стать фамилией без дополнительных переделок.

Корень здесь — глагол «зазыбать». В южнорусских и украинских говорах «зыбать» означает качать, колебать, укачивать. Отсюда «зыбка» — колыбель. «Зазыбать» могло значить «начать качать», «укачать» или, в переносном смысле, «забаюкать», «усыпить бдительность». Человек по прозвищу Зазыбо, скорее всего, получил его за манеру говорить или действовать неторопливо, монотонно, убаюкивающе. Либо — за привычку качать что-то или кого-то: детей в люльке, лодку на воде.

Есть и другая версия, более прозаичная. В некоторых диалектах «зыбать» употреблялось в значении «шатать», «расшатывать». Зазыбо — тот, кто «зазыбал», то есть начал расшатывать, раскачивать. Прозвище могли дать непоседливому, вертлявому человеку или тому, кто раскачивал заборы и ворота. Но первое значение — с укачиванием — кажется более естественным для бытового прозвища.

Географически фамилия тяготеет к западу России и востоку Украины: встречается в Брянской, Курской областях, а также в Черниговской и Сумской. Это территория, где говор «зыбать» был в ходу. Поскольку фамилия недворянская и не книжная, предки Зазыбо — крестьяне или ремесленники. Никаких известных исторических личностей с этой фамилией не зафиксировано, что только подтверждает её сугубо народное, прозвищное происхождение.

Единственная сложность — написание. Фамилия могла писаться и как «Зазыба», и как «Зазыбо», что типично для украинской ономастики: окончание -о часто закреплялось за прозвищами мужского рода. Если ваши предки писались через «о», значит, фамилия оформилась в той среде, где такая форма считалась нормативной.