Фамилия Зазымко — редкий пример украинской модели словообразования, где к основе добавили суффикс -к-, а затем окончание -о. Такая структура (основа + -к- + -о) типична для украинских фамилий, образованных от прозвищ или глагольных форм: вспомните хотя бы Дядько, Лизогуб, Непийпиво. Ударение, судя по распространённому произношению, падает на второй слог: Зазы́мко.

Корень «зым» — это фонетический вариант слова «зим», связанного с зимой или холодом. Но приставка «за-» указывает на действие, доведённое до конца или совершённое впрок. Прозвище Зазыма могло означать человека, который «зазимует» — то есть останется где-то на зиму, переждёт холода. В украинских говорах «зазимувати» — провести зиму, остаться зимовать. Так могли прозвать пришлого человека, задержавшегося в селе на зиму, или того, кто, наоборот, уходил в зимовку — на промысел или в чужие края.

Есть и вторая, менее очевидная версия: основа может восходить к древнему глаголу «зымать» (хватать, брать). Тогда «зазыма» — тот, кто «забирает», захватывает. Но эта гипотеза слабее: глагол «зымать» в украинском языке почти не встречается, а вот «зимувати» — обычное слово. Поэтому происхождение от зимовки выглядит убедительнее.

Фамилия Зазымко встречается преимущественно на востоке Украины — в Полтавской, Сумской и Харьковской областях. В России она редка, чаще всего у потомков переселенцев с Украины. Суффикс -к- в украинских фамилиях часто указывал на принадлежность к роду: Зазымко — буквально «сын или потомок Зазымы». Предок носителя этой фамилии, скорее всего, был крестьянином или казаком, которого прозвали за привычку зимовать в определённом месте.