Фамилия Зелиш — редкий случай, когда основа не поддаётся однозначной славянской этимологии. В ней нет привычных русских суффиксов -ов, -ин или -ский, а окончание -иш указывает на иную языковую традицию. Скорее всего, перед нами фамилия еврейского (ашкеназского) происхождения, записанная кириллицей.

Корень «Зел-» восходит к идишу или ивриту. Самая вероятная версия — от слова «зель» (идиш: זעל, zel), что значит «душа», «живое существо». В таком случае фамилия могла быть прозвищем живого, подвижного человека или же сокращением от составного имени вроде Зелиг (счастливый) или Зелик (благословенный). Второй вариант — от немецкого «selig» (блаженный, покойный), что тоже давало фамилии в еврейской среде, но через форму Зелиг, а не Зелиш.

Суффикс -иш характерен для восточноевропейского идиша: он часто образовывал уменьшительные или прозвищные формы (сравните: Бер — Бериш, Герш — Гершиш). То есть Зелиш — это ласкательное или обиходное производное от имени или прозвища с корнем «зел». Фамилия могла закрепиться на территории черты оседлости (Польша, Украина, Белоруссия, Литва) и уже оттуда попасть в русские документы при переписях или переселениях.

В русском языке фамилия склоняется как существительное мужского рода на шипящий: Зелиша, Зелишу. Женский вариант не изменяется. Поскольку фамилия не славянская, сословную принадлежность предков по ней определить невозможно — носителями могли быть и ремесленники, и торговцы, и раввины. Единственное, что можно сказать с уверенностью: географически фамилия тяготеет к западным регионам бывшей Российской империи.

Если искать аналоги, то ближайшие однокоренные фамилии — Зелиг, Зелик, Зельцер. Все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами. Зелиш стоит особняком из-за редкого окончания, что делает её скорее прозвищной по происхождению, чем патронимической.