Фамилия Живодков — один из тех случаев, когда прозвище, лёгшее в основу, сохранилось почти без изменений и не требует сложных лингвистических реконструкций. Корень здесь прозрачный: «живодёр» или, в более мягкой народной форме, «живодка». В старину так называли человека, который сдирал шкуры с павших животных, занимался выделкой кож или, в переносном смысле, был жестоким, прижимистым хозяином. Прямое ремесленное значение — наиболее вероятный источник: живодёрня (место убоя и разделки) была частью хозяйства, и её работник получал соответствующее уличное прозвище.

Модель образования типична для восточнославянских фамилий: суффикс -ов- присоединился к основе «Живодк(о)». Форма «Живодко» — это уменьшительное или обиходное производное от «живодёр» (с усечением и суффиксом -к-). Такая модель (корень + -к- + -ов) характерна для прозвищ, которые закрепились за одним человеком, а затем перешли к его детям: Ивашко → Ивашков, Живодко → Живодков. Фамилия фиксирует не столько род занятий самого носителя, сколько прозвание его предка, причём, скорее всего, не самого высокого социального статуса — крестьянина или посадского человека, связанного с грязной, но необходимой работой.

В ономастике фамилия Живодков стоит в одном ряду с менее прозрачными однокоренными — Живодёров, Живодеров. Разница в суффиксе: -ёров прямо указывает на профессию («сын живодёра»), а -ков (через форму на -ко) выдаёт более разговорный, бытовой вариант прозвища. Географически фамилия тяготеет к центральным и южным регионам России, где скотоводство и кожевенное дело были распространены шире, но точных данных о гнездовом расселении нет — в переписных книгах XVII–XVIII веков такие прозвища встречаются эпизодически.

Спорных версий происхождения практически нет: корень слишком ясен, чтобы искать альтернативы вроде редких диалектных слов. Единственное, что можно оговорить: в некоторых говорах «живодкой» могли назвать не только кожевника, но и скрягу, выжимающего последнее, — это переносное значение, которое тоже могло стать прозвищем. Но ремесленная версия остаётся основной: предок носителя фамилии, скорее всего, работал на живодёрне или держал её.