Фамилия Зивко — редкий случай, когда корень не бросается в глаза, а суффикс сразу выдаёт географию. Формант -ко типичен для украинской, белорусской и южнорусской ономастики, особенно для фамилий, образованных от прозвищ или имён. В этой модели -ко — не уменьшительный суффикс (как в «сынко»), а скорее указание на носителя признака: Зивко — это человек, которого прозвали Зивом.

Сам корень «зив-» отсылает к древнерусскому или украинскому «зив» — «зевок», «рот», «пасть». В диалектах и народной речи слово могло означать не только физиологическое действие, но и прозвище крикливого, говорливого или, наоборот, зевающего, рассеянного человека. В некоторых говорах «зивало» — ротозей, разиня. Таким образом, Зивко — потомок человека, которого в округе дразнили за привычку широко открывать рот, громко зевать или говорить без умолку.

Версия о связи с личным именем маловероятна. В православных святцах имени Зив нет, а в крестьянской среде фамилии редко образовывали от случайных звукосочетаний. Зато в украинских и белорусских письменных источниках XVII–XVIII веков встречаются прозвища Зив, Зива, Зивко — в реестрах казаков и мещан Черниговщины и Волыни. Это подтверждает, что фамилия возникла именно как прозвищная, а не от календарного имени.

С точки зрения словообразования фамилия стоит в ряду однокоренных: Зива, Зивин, Зивов. Но суффикс -ко здесь не просто уменьшительный, а указывает на прямую принадлежность к прозвищу: Зивко — буквально «сын или человек Зива». В украинской традиции такие фамилии часто закреплялись за младшим поколением без дополнительных патронимических суффиксов.

Сегодня фамилия Зивко встречается редко, преимущественно на западе Украины, в Беларуси и среди потомков переселенцев в Сибири. В России её носители — почти всегда люди, чьи предки пришли с западных земель. Никакого отношения к еврейским фамилиям (вопреки возможной ассоциации с ивритом) она не имеет — это чисто восточнославянское прозвище, укоренившееся в простонародной среде.