Фамилия Абашидзэ — пример того, как русская письменность сохранила грузинскую словообразовательную модель почти без изменений. Конечное -дзе (в русской передаче часто -дзэ или -дзе) — один из самых распространённых грузинских патронимических суффиксов, означающий «сын» или «потомок». То есть Абашидзэ буквально переводится как «сын Абаши». В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые закрепились в XVI–XVII веках, грузинские фамилии на -дзе фиксируются в документах раньше, уже с XIII–XIV столетий, и указывали на принадлежность к определённому роду или общине.

Основа Абаш- — это, скорее всего, краткая форма мужского имени Абаш. В грузинском ономастиконе имя Абаш имеет неоднозначное происхождение. По одной версии, это вариант арабского имени Аббас (суровый, хмурый), которое через Персию и Османскую империю проникло в Закавказье. По другой — местное, исконно грузинское прозвище, связанное со словом «абаши» — так в некоторых диалектах называли нерасторопного, медлительного человека. Вторая версия менее убедительна: суффикс -дзе обычно присоединяли к личным именам, а не к нарицательным прозвищам, хотя исключения бывали.

Географически фамилия Абашидзэ тяготеет к западной Грузии — Имеретии и Гурии. В этих регионах фамилии на -дзе особенно характерны для сельских общин, где родовая память держалась на имени основателя. В XIX веке, после присоединения Грузии к Российской империи, фамилию фиксировали в метрических книгах с разным написанием: Абашидзе, Абашидзев (последнее — попытка русифицировать окончание, но она не прижилась). Современный вариант Абашидзэ с твёрдым «э» на конце — калька с грузинского произношения, где гласный в суффиксе не редуцируется.

Социальный состав носителей был пёстрым: среди Абашидзэ встречались как крестьяне, так и мелкие дворяне (азнауры). В грузинских родословных книгах упоминается несколько дворянских родов с этой фамилией, но их статус не был единым для всех ветвей. Поскольку имя Абаш не относилось к княжеским или царским, фамилия не вошла в высшую аристократию, но осталась широко распространённой в среднем сословии.

Коротко: если ваша фамилия Абашидзэ, то предок по мужской линии носил имя или прозвище Абаш, а сама фамилия с большой вероятностью сформировалась в Западной Грузии не позднее XVII века.