Фамилия Агасси сразу выбивается из привычного ряда русских фамилий. В ней нет типичных суффиксов -ов, -ин или -ский, которые в русском языке превращают имя или прозвище в наследственное родовое имя. Корень «Агас» звучит не по-славянски, а сама фамилия — как готовая основа, которую не стали переделывать под русский грамматический строй. Это верный признак: перед нами фамилия, пришедшая из другой культуры, и её носители в подавляющем большинстве имеют нерусские корни.

Самая убедительная версия — армянское или иранское происхождение. В армянском языке есть фамилия Агасян (Աղասյան), образованная от имени Агас (Աղաս). Оно, в свою очередь, восходит к древнеперсидскому «ага» — «господин», «владыка». Окончание -ян в армянском указывает на принадлежность к роду. При переходе в русскую среду это окончание могли просто отбросить, адаптировав фамилию до формы Агасси. Такое усечение особенно характерно для армянских семей, живших на Кавказе или в южных регионах Российской империи, где русские чиновники нередко записывали фамилии на слух, обрезая «лишние», с их точки зрения, слоги. Косвенно эту версию подтверждает и известный носитель фамилии — теннисист Андре Агасси, чей отец был армянином из Ирана.

Существует и менее распространённая гипотеза, связывающая фамилию с тюркским или арабским словом «ага» — «старший», «господин». В этом случае Агасси могло быть прозвищем уважаемого человека, которое закрепилось за его потомками в среде народов Кавказа или Средней Азии. Однако эта версия слабее: обычно тюркские прозвища при оформлении в фамилию русифицировались суффиксами (-ов, -ев), а здесь этого не произошло, что делает армянский сценарий более правдоподобным.

В русских документах фамилия Агасси встречается редко и преимущественно в Закавказье — регионе, где смешение армянских, персидских и русских традиций порождало подобные гибридные формы. Предки носителей этой фамилии, скорее всего, были либо армянскими ремесленниками или торговцами, либо людьми, получившими уважительное прозвище за положение в общине. Окончание на -и не даёт возможности определить сословную принадлежность — такую фамилию могли носить и крестьяне, и мещане, и дворяне, но в любом случае её корень указывает на то, что основатель рода пользовался авторитетом.