Фамилия Агасси не вписывается в типичную русскую словообразовательную модель, и это сразу подсказывает её происхождение. В ней нет суффиксов -ов, -ин или -ский, которые превращают имя или прозвище в наследственное имя. Корень «Агас» — не славянский, и фамилия звучит как готовая основа, которую не переделывали под русский грамматический строй. Скорее всего, она попала в русский язык из другой культуры, и в большинстве случаев её носители имеют нерусские корни.

Самая вероятная версия — иранское или армянское происхождение. В армянском языке фамилия Агасян (Աղասյան) образована от имени Агас (Աղաս), которое восходит к древнеперсидскому «ага» — «господин», «владыка». Окончание -ян указывает на принадлежность к роду. При переходе в русскую среду окончание могли отбросить, адаптировав фамилию до формы Агасси, что особенно характерно для семей, живших на Кавказе или в южных регионах Российской империи. В пользу этой версии говорит и то, что известный теннисист Андре Агасси — армянского происхождения по отцу.

Есть и менее распространённая гипотеза, связывающая фамилию с тюркским или арабским «ага» в значении «старший», «господин». В этом случае Агасси могло быть прозвищем уважаемого человека, которое закрепилось за его потомками в среде народов Кавказа или Средней Азии. Однако для русского бытования такая форма редка: обычно тюркские фамилии русифицируются суффиксами, а здесь этого не произошло.

В русских документах фамилия Агасси встречается редко и преимущественно в Закавказье, где смешение армянских, персидских и русских традиций давало подобные гибридные формы. Предки носителей этой фамилии, скорее всего, были либо армянскими ремесленниками или торговцами, либо людьми, получившими прозвище за положение в общине. Окончание на -и не позволяет определить сословную принадлежность — такую фамилию могли носить и крестьяне, и мещане, и дворяне, но в любом случае её корень указывает на уважение к основателю рода.