Фамилия Агасой — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с произношением, и это сразу подсказывает, что перед нами не исконно русская фамилия, а заимствованная или образованная от иноязычной основы. В русском языке нет корня «агас-», и суффикс «-ой» в фамилиях встречается нечасто, в основном у тюркских и кавказских народов. Поэтому первая и самая вероятная версия — фамилия тюркского происхождения.

Если разобрать фамилию по частям, «Агас» может восходить к тюркскому слову «ага» (старший брат, господин, почтенный человек) или к «агач» (дерево, лес). Форма «Агасой» — это притяжательное прилагательное с суффиксом «-ой», которое в тюркских языках часто указывает на принадлежность к роду или местности. То есть Агасой — это «сын Агаса» или «из рода Агаса». Встречается такая модель у кумыков, ногайцев, азербайджанцев и других народов, где фамилии оканчиваются на «-ой» (сравните: Алиев — Алисой, Магомедов — Магомедсой). Вторая версия, менее распространённая, — что основа «Агас» связана с арабским именем Агас (вариант Агаш), которое означает «смелый» или «отважный». Тогда фамилия — это патроним, то есть указание на предка по имени Агас.

Географически фамилия Агасой тяготеет к Северному Кавказу и Закавказью. Наибольшая концентрация носителей фиксируется в Дагестане, Чечне и среди азербайджанцев. В русских архивных документах XVIII—XIX веков такая фамилия не встречается — это подтверждает её позднее вхождение в российский ономастикон, скорее всего, в советское время, когда горцам массово присваивали фамилии по отцовскому имени.

Словообразовательно фамилия стоит особняком: в русском языке аналогов с суффиксом «-ой» практически нет (разве что фамилии вроде Толстой, Плохой, но там суффикс другой — «-ой» является окончанием прилагательного). В тюркских же языках это стандартная модель: «Агас» + «-ой» = «принадлежащий Агасу». Поэтому, если ваш предок носитель фамилии Агасой, он почти наверняка происходит из тюркоязычной или кавказской среды, где имя Агас (или Агаш) было личным, а затем закрепилось как родовое прозвище.

В итоге: фамилия Агасой — редкий пример тюркской патронимической модели на русской почве, без переделки в «-ов» или «-ев». Она сохранила исходную форму, что делает её ценной для ономастики как свидетельство прямого заимствования.