Фамилия Агасой — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с произношением, и это сразу подсказывает, что перед нами не исконно русская фамилия, а заимствованная или образованная от иноязычной основы. В русском языке нет корня «агас-», и суффикс «-ой» в фамилиях встречается нечасто, в основном у тюркских и кавказских народов. Поэтому первая и самая вероятная версия — фамилия тюркского происхождения.

Разбираем словообразовательную модель. Фамилия строится по схеме «основа + суффикс -ой». В тюркских языках этот суффикс образует притяжательные прилагательные, указывающие на принадлежность к роду или местности. То есть Агасой — это «сын Агаса» или «из рода Агаса». Встречается такая модель у кумыков, ногайцев, азербайджанцев и других народов, где фамилии оканчиваются на «-ой» (сравните: Алиев — Алисой, Магомедов — Магомедсой). В русском языке аналогов с таким суффиксом практически нет — разве что фамилии вроде Толстой, Плохой, но там «-ой» является окончанием прилагательного, а не фамильным суффиксом.

Основа «Агас» может восходить к тюркскому слову «ага» (старший брат, господин, почтенный человек) или к «агач» (дерево, лес). Менее распространённая версия — что основа связана с арабским именем Агас (вариант Агаш), которое означает «смелый» или «отважный». Тогда фамилия — это патроним, то есть указание на предка по имени Агас.

Географически фамилия Агасой тяготеет к Северному Кавказу и Закавказью. Наибольшая концентрация носителей фиксируется в Дагестане, Чечне и среди азербайджанцев. В русских архивных документах XVIII—XIX веков такая фамилия не встречается — это подтверждает её позднее вхождение в российский ономастикон, скорее всего, в советское время, когда горцам массово присваивали фамилии по отцовскому имени.

В итоге: фамилия Агасой — редкий пример тюркской патронимической модели на русской почве, без переделки в «-ов» или «-ев». Она сохранила исходную форму, что делает её ценной для ономастики как свидетельство прямого заимствования. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка происходил из тюркоязычной или кавказской среды, где имя Агас (или Агаш) было личным, а затем закрепилось как родовое прозвище.