Фамилия Агичева — женская форма, мужская — Агичев. В основе лежит прозвище или неканоническое имя Агич, Агика. Такие имена были распространены в русской народной среде и образовывались от глагола «агать» — то есть громко кричать, аукать, перекликаться в лесу. В словаре В. Даля «агать» зафиксировано именно в этом значении: подавать голос, чтобы не потеряться. Соответственно, Агичем могли прозвать крикливого человека, заводилу, того, кто подавал сигналы на охоте или в поле.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ев (в безударной позиции часто переходил в -ов, но здесь сохранился вариант с -ев) присоединялся к основе на мягкий или шипящий согласный. Поскольку «Агич» оканчивается на -ич, логично ожидать суффикс -ев, а не -ин. Это указывает на то, что фамилия сложилась в северных или центральных областях России, где форма «Агичев» встречается чаще, чем южнорусская «Агичин».

Есть и другая, менее вероятная версия: от тюркского имени Агиш (Агыш) — «счастливый», «удачливый». В таком случае фамилия могла возникнуть в среде крещёных татар или народов Поволжья, но тогда форма ожидалась бы как Агишев или Агишева. Фонетический переход ш в ч возможен в диалектах, но не массовый. Поэтому версия с русским глаголом «агать» выглядит убедительнее: она объясняет и прозвищный характер, и географию фамилии.

Встречаемость фамилии Агичева невысокая, в основном она фиксируется в документах по Нижегородской, Костромской и Вологодской областям — как раз в зоне бытования северных говоров с глаголом «агать». Носители фамилии в XIX веке числились в крестьянском сословии, реже — среди мещан. Известных исторических личностей с такой фамилией нет, что типично для прозвищных фамилий, не связанных с дворянскими родами.