Фамилия Акантаев — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Корень «Акант» сразу выдаёт нерусскую основу: в славянской ономастике фамилий с таким началом почти нет, это верный признак заимствования.

Самая убедительная версия — тюркская. В татарском, башкирском или казахском языках слово «акан» могло означать «течение», «поток», «белая вода» или входить в состав имени, например, «Ак-кант» — «чистый источник» или «белая кровь». Суффикс «-аев» — стандартный русский патронимический формант, который адаптировал тюркские прозвища и имена: от Акант или Акан образовали Акантаев, то есть «потомок Аканта». По такой модели в XVII–XIX веках оформляли фамилии татарским и башкирским родам, вошедшим в состав Российской империи.

Другая версия — греческая, от растения «акант» (медвежья лапа). Но она слабая: у греческого духовенства или купечества фамилии на «-аев» практически не встречаются, так что тюркская гипотеза намного правдоподобнее.

География носителей — Поволжье, Урал и Западная Сибирь, то есть регионы, где традиционно селились татары и башкиры. В дореволюционных метриках и ревизских сказках фамилия почти не попадается, значит, она либо поздняя, либо бытовала локально, в одной-двух деревнях. Сословно предки могли быть государственными крестьянами, ясачными (платившими подать пушниной) или служилыми татарами — в этих средах тюркские имена естественно переходили в фамилии.

Ударение, скорее всего, падает на последний слог — Аканта́ев, что типично для тюркских заимствований с русским окончанием. Если ищете свои корни, стоит смотреть в сторону татарских или башкирских селений, где прозвище Акант могло закрепиться за несколькими семьями.