Фамилия Акшевская — женская форма мужской фамилии Акшевский, и её происхождение стоит искать не в одном корне, а в географии. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев, образованных от имени отца, модель на -ский/-цкой в классической русской ономастике (по Б. Унбегауну) чаще указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но в реальности закрепилась и за простыми людьми, особенно на западе и юге России. Акшевские — это те, кто вышел из населённого пункта с похожим названием. Самый вероятный кандидат — село Акша (ныне в Забайкальском крае) или река Акша, откуда и пошло название. В таком случае фамилия означает «родом из Акши».

Сам топоним «Акша» имеет бурятские или тюркские корни. В переводе с бурятского «акша» может означать «денежная единица» или «мелкая монета», а с тюркских языков — «белый, чистый» (ак) с суффиксальным оформлением. Таким образом, основа фамилии — географическая, а не личная: предок не носил прозвище Акша, а переселился из места с таким именем.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с тюркским именем Акша (уменьшительное от Ак-Шах, «белый правитель»). В этом случае фамилия образована по той же модели, но от прозвища или имени, а не от названия села. Однако для фамилий на -ский/-ская версия с географическим источником считается более типичной, особенно если учесть, что Акшевские исторически встречаются в документах по Забайкалью и Сибири, куда переселялись служилые люди и крестьяне.

Суффикс -евск- в основе (а не просто -ск-) указывает на то, что топоним или имя, от которого образована фамилия, заканчивалось на -ев или -ево: Акшево, Акшев. То есть первоначально было поселение Акшево, житель которого стал Акшевским. Это типичная модель для фамилий, возникших в XVI–XVII веках, когда шло активное заселение окраинных земель и оформление фамилий по месту выхода.

В современном употреблении фамилия редкая, её носительницы встречаются в основном в Сибири, на Урале и в центральных регионах России, что подтверждает связь с забайкальскими корнями. Если вы ищете своих предков, стоит начинать с метрических книг и ревизских сказок по Забайкальской области — именно там с наибольшей вероятностью зафиксированы первые Акшевские.