Фамилия Алешичкина — это женская форма фамилии Алешичкин, а та, в свою очередь, образована от имени Алешичка. Если вы ищете свои корни, то ответ лежит в области уменьшительно-ласкательных форм крестильного имени Алексей. В русском языке имя Алексей породило десятки народных, «домашних» вариантов: Алёша, Лёша, Алёшка, Алешичка, Лёшичка. Именно последняя форма, Алешичка, стала основой для фамилии.

Модель образования здесь прозрачна и типична для восточнославянских фамилий. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей сын?» — «Алешичкин». То есть Алешичкин — это сын человека по имени или прозвищу Алешичка. Обратите внимание на редкий суффикс -ичк- в основе. В русской антропонимии он встречается нечасто: обычно фамилии образуют от более распространённых форм (Алёшин, Алёшкин, Лешин). Алешичкин стоит в одном ряду с такими же «ласкательными» фамилиями, как Ванюшичкин, Петричкин, Серёжичкин, — все они указывают на то, что предка в семье называли особенно нежно.

В географическом плане фамилия Алешичкин (и её женская форма) тяготеет к центральным и южнорусским областям. Встречается она нечасто, что объясняется редкостью самой производящей формы имени. В архивных записях и списках населения фамилия фиксируется с XIX века, в основном в крестьянской и мещанской среде, где прозвищные формы имён бытовали повсеместно. Алешичка — это не официальное имя, а внутрисемейное, ласковое, которое затем закрепилось за потомками как родовое имя.

Таким образом, если ваша фамилия Алешичкина, ваш предок по мужской линии был, скорее всего, Алексеем, которого в кругу близких звали Алешичкой. Никакой другой, более сложной этимологии у фамилии нет — это простой и ясный случай патронимии на базе уменьшительного имени.