Фамилия Амостаева — редкий и неочевидный случай, когда внешне прозрачная основа заставляет выбирать между географией и ремеслом. Разберём обе версии, но сразу предупредим: первая намного надёжнее.

Самая вероятная версия — топонимическая. В основе фамилии лежит название населённого пункта: деревни или урочища Амост, Амоста или Амостово. Такие топонимы встречаются в исторических документах по Витебской и Смоленской губерниям. Человек, выходец оттуда, получал прозвание Амост или Амостай, а его потомки записывались уже как Амостаевы. Суффикс -ев присоединился к основе на -й, что стандартно для русской модели: Амостай → Амостаев. Ударение, скорее всего, падает на третий слог — Амостáева, что типично для фамилий, образованных от трёхсложных топонимов.

Вторая версия — прозвищная, по роду занятий. В некоторых говорах «амостить» означало мостить дороги или строить мосты. Приставка «а-» могла быть фонетическим вариантом «о-» (ср. диалектное «омост» — перила, ограда). Тогда Амостай — это мастер-мостовик. Версия соблазнительная, но лингвистически слабее: она требует дополнительных допущений о том, как именно «омост» превратился в «амост», и не объясняет, почему прозвище не закрепилось в более понятной форме вроде Мостов или Мостовой.

Обе версии не противоречат социальной истории. Амостаевы — потомки крестьянского или мещанского сословия. Дворянских родов с такой фамилией в «Бархатной книге» или «Общем гербовнике» нет. Редкость фамилии указывает на локальное происхождение: скорее всего, все её носители — потомки одной семьи из небольшой местности, где и находилась деревня Амост. Это и есть самая естественная традиция русской ономастики — называть человека по месту, к которому он привязан.