Фамилия Анащнков — редкий случай, когда написание сбивает с толку даже носителя языка. Скорее всего, перед вами вариант фамилии Анащенков или Онащенков. Буква «щ» вместо «ш» в середине могла возникнуть из-за особенностей произношения в говорах (цоканье или смешение шипящих) либо из-за ошибки переписчика в документах. В русских фамилиях суффикс -ов/-ев стандартен для образования от прозвищ на согласный, а вот сочетание -нков встречается в основном у фамилий, образованных от форм на -ко (как Анащенко + -ов). Поэтому исходной формой почти наверняка было украинское или южнорусское прозвище Анащенко, Анащко.

Основа — короткое имя или прозвище Анаща. Самый прямой путь: от канонического имени Ананий (древнееврейское Ханания — «Яхве помиловал»). В русских говорах имя Ананий давало уменьшительные формы Ананя, Анаша, Анаща. Суффикс -щ- здесь необычен, но возможен как диалектный вариант смягчения. Вторая версия, менее вероятная: прозвище от диалектного слова «анащный» — в некоторых говорах так называли неопрятного, неряшливого человека или, наоборот, привередливого (от «анаться» — возиться, привередничать). Однако приоритет остаётся за именной версией — она типична для огромного пласта русских фамилий на -ов/-ев.

Географически фамилия Анащнков (в исходном написании Анащенков) тяготеет к западнорусским и украинским регионам: Брянщина, Смоленщина, Курская область, а также восток Украины. В этих местах фамилии на -енко и -ченко легко прирастали русским суффиксальным «хвостом» -ов, когда носители переселялись в великорусские губернии. Социально это, скорее всего, крестьянская или казачья фамилия: в среде однодворцев и казаков такие переоформления украинских фамилий были массовыми в XVII–XVIII веках.

Словообразовательная модель прозрачна: Анащ(а/ко) → Анащенк(о) → Анащенков. В вашем написании с «щн» произошла контаминация — буква «щ» перешла из суффикса в корень, а сам суффикс превратился в -нков. Это типичная ошибка письма: человек на слух записал фамилию так, как слышал, не восстанавливая логику. Если вы ищете историю именно написания «Анащнков», то это графический вариант, не меняющий смысла. Восстановить первоначальное прозвище можно, только зная точное место выхода предков: в одних сёлах скажут «Анащенко», в других — «Онащенко».