Фамилия Анчак — редкий случай, когда прозвище застыло в исходной, почти не изменённой форме, без типичных русских суффиксов -ов, -ин или -ский. Её основа — слово «анчак», и именно с его значения начинается история фамилии.

Самая вероятная версия связывает Анчака с тюркскими языками, где «анчак» (или «анчах») означает «только», «лишь», «едва». В татарском, башкирском и некоторых других языках это слово бытовало как наречие, но в русских говорах могло превратиться в прозвище человека, который говорил «анчак» в значении «чуть-чуть», «еле-еле» — возможно, медлительного, осторожного или того, кто вечно отнекивался. Такие прозвища по характерному словечку (так называемые «междометные» фамилии) встречаются, но редко: они не описывают внешность или занятие, а схватывают манеру речи.

Вторая гипотеза — что Анчак — это фонетический вариант фамилии Анчук, распространённой у белорусов и поляков. Там суффикс -чук/-чак указывает на сына или ученика: Анчак могло означать «сын Антона» или «сын Антанаса» (литовская форма имени Антон). Однако для этой версии маловато следов: фамилия Анчак не зафиксирована как массовая в западнославянских регионах, а встречается скорее точечно в России и на Украине.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) Анчак не упоминается, что подтверждает её редкость. Изредка она попадается в Поволжье и на Урале, где тюркское влияние на бытовую лексику было сильным. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, их прозвали по слову, которое они часто повторяли, или по черте характера — и это прозвище так и осталось родовым, не обрастая стандартными окончаниями.