Фамилия Анешкова — один из тех случаев, где на первый взгляд очевидная основа при ближайшем рассмотрении оказывается не такой простой. Если отбросить типичный женский суффикс -а, то перед нами мужская форма Анешков. А она, в свою очередь, образована от прозвища или имени Анешко.

Самое прямое и правдоподобное объяснение — это уменьшительная форма от крестильного имени Андрей. В народной речи имя Андрей давало множество производных: Андрюша, Андрейка, а в некоторых говорах — Андрюшко, которое могло сократиться и видоизмениться до Анёшко. Суффикс -ешк- (или -ёшк-) в русских фамилиях характерен для западнорусских и белорусских земель, где он часто заменял стандартный -ушк- или -юшк-. Таким образом, Анешков — это буквально «сын Анёшка», то есть маленького Андрея.

Однако есть и вторая версия, менее очевидная, но имеющая право на существование. В некоторых говорах слово «анёшка» или «анюшка» могло быть прозвищем неженки, баловня, человека с мягким, «девичьим» характером. В этом случае фамилия отталкивалась не от церковного имени, а от бытовой характеристики предка. Такие прозвища давали не в обиду, а скорее как констатацию особенности нрава.

С точки зрения географии, фамилия Анешков (и, соответственно, Анешкова) не является массовой. Её корни стоит искать в северо-западных областях России — в Псковской, Новгородской, возможно, в Тверской губерниях, а также на территории современной Беларуси. Именно там суффикс -ешк- был особенно распространён. Морфологически фамилия относится к типичным русским фамилиям-притяжательным прилагательным: она отвечала на вопрос «чей?» — Анешков, то есть принадлежащий человеку по имени или прозвищу Анешко.

В дореволюционной России носители этой фамилии, скорее всего, относились к крестьянскому или мещанскому сословию. Фамилии с таким «домашним», уменьшительным суффиксом редко встречались у дворянства, которое предпочитало более «официальные» формы на -ов/-ев без дополнительных уменьшительных суффиксов.