Фамилия Анейчук — один из тех случаев, когда суффикс сразу выдаёт происхождение. Модель на -чук в украинской ономастике работает как указание на «малого», «сына» или «ученика» того, кто назван в корне. Если Петренко — это просто «Петров сын», то Анейчук — «сын Анея» или «потомок Анея». Суффикс -чук здесь конкретнее, чем привычное -енко: он чаще встречается на западе Украины и в меньшей степени — в центральных областях.

Корень «Аней» — это, скорее всего, народная форма канонического имени Ануфрий. В крещении — Ануфрий Великий, христианский святой. Украинский язык охотно урезал и смягчал греческие имена: Ануфрий превращался в Анушку, Анея, Онуфрия. То есть Аней — это не самостоятельное имя, а обиходный вариант, который в XIX веке и лёг в основу фамилии. Вторая версия — от польского или белорусского прозвища «аня» (в диалектах — «нянька», «мамка»), но для украинской фамилии такое толкование спорно: суффикс -чук крепко привязан к личным именам, а не к нарицательным словам, поэтому версия с Ануфрием надёжнее.

Географически фамилия тяготеет к западу Украины — Волынь, Подолье, Галиция. В этих регионах суффикс -чук особенно распространён, и там же часто встречались уменьшительные формы имён. Носители фамилии — потомки крестьян или мещан, которые в XIX веке получили фамилию по имени деда или отца. Дворянской или казацкой старшины среди Анейчуков, судя по доступным источникам, не зафиксировано: фамилия «простая», бытовая, без сословного оттенка.

В русском языке фамилия склоняется по правилам украинских фамилий: Анейчук, Анейчука, Анейчуку. Ударение, по аналогии с подобными фамилиями (Шевчук, Ковальчук), падает на последний слог — Анейчу́к. На письме встречаются варианты через «и» или «ы» (Анейчук и Анейчук), но нормативное украинское написание — через «и». В документах советского периода могли записать и через «ы» — это зависит от местной канцелярии.