Фамилия Анейчук — редкий для русского слуха пример украинской модели образования на -чук. В отличие от более привычных -енко (Петренко) или -ук (Гончарук), суффикс -чук в украинской ономастике указывает на «малого», «сына» или «ученика» того, кто назван в корне. То есть Анейчук — «сын Анея» или «потомок Анея».

Корень «Аней» — это, скорее всего, украинская народная форма канонического имени Ануфрий (в крещении — Ануфрий Великий, христианский святой). Украинский язык часто урезал и смягчал греческие имена: Ануфрий превращался в Анушку, Анея, Онуфрия. Вторая версия, менее вероятная, — от польского или белорусского прозвища «аня» (в диалектах — «нянька», «мамка»), но для украинской фамилии такое толкование спорно: суффикс -чук крепко привязан к личным именам, а не к нарицательным словам.

Географически фамилия тяготеет к западу Украины — Волынь, Подолье, Галиция. В этих регионах суффикс -чук особенно распространён, и там же часто встречались имена в уменьшительной форме. Носители фамилии — потомки крестьян или мещан, которые в XIX веке получили фамилию по имени деда или отца. Дворянской или казацкой старшины среди Анейчуков, судя по доступным источникам, не зафиксировано: фамилия «простая», бытовая.

В русском языке фамилия не склоняется по правилам украинских фамилий: Анейчук, Анейчука, Анейчуку. Ударение, по аналогии с подобными фамилиями (Шевчук, Ковальчук), падает на последний слог — Анейчу́к. На письме встречаются варианты Анейчук и Анейчук (через «и» или «ы»), но нормативное украинское написание — через «и».