Фамилия Апишев — редкий случай, где основа, скорее всего, не славянская, а тюркская. На слух она напоминает множество фамилий на -ев, образованных от мусульманских имен, и это подсказка.

Самая вероятная версия — происхождение от арабского имени Абиш или Апиш. В тюркских языках, особенно у кумыков, ногайцев, балкарцев и карачаевцев, имя Абиш (вариант — Апиш) было распространено как уменьшительно-ласкательная форма от Абдуллах или Ибрагим. Суффикс -ев (а не -ов) указывает на мягкую основу: Апиш → Апишев, то есть «сын Апиша». По этой же модели образованы фамилии Абишев, Абушев, Апашев — они однокоренные, но разошлись в написании из-за диалектного произношения.

Менее вероятная, но возможная версия выводит основу из тюркского слова «апыш» — в некоторых диалектах так называли суетливого, торопливого человека. Тогда фамилия пошла бы не от имени, а от прозвища: Апиш — тот, кто вечно спешит. Но для фамилий такого типа (с отчественной моделью на -ев) прозвища реже становятся основой, чем имена, так что версия с именем выглядит убедительнее.

Географически фамилия Апишев встречается в основном на Северном Кавказе и в Поволжье — в Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии, Ставропольском крае, а также среди казанских татар и башкир. В русских областях она почти не фиксируется, что подтверждает её тюркские корни. Сословно носители фамилии могли быть как крестьянами, так и узденями (свободными горцами) — фамилия не несёт явной аристократической окраски.

В написании стоит обратить внимание на начальную букву: Апишев с одной «п» — норма для русской записи тюркского имени, хотя в оригинале могло быть удвоение (Аппиш). Вариант с двумя «п» встречается, но реже и считается скорее ошибкой переписчика.