Фамилия Апышев — редкий пример, где спорна не только этимология, но и сама основа. Сразу скажем: она не имеет отношения к тюркскому слову «апа» (старшая сестра, мать), хотя это первое, что приходит на ум. Скорее всего, перед нами вариант фамилии, образованной от прозвища или имени, записанного на слух в русской среде.

Самый вероятный корень — тюркское мужское имя Апыш. В казахском, киргизском и башкирском языках «апыш» — ласковое обращение к младшему, малышу, иногда к сыну. Имя могло быть семейным, домашним, а в документах закрепилось как Апыш. Русский суффикс -ев добавили по модели «чей?» — Апышев, то есть сын Апыша. Такая модель типична для фамилий, возникших в XVI–XIX веках у крещёных татар, башкир и других народов Поволжья и Урала, которые переходили в православие и получали фамилии по отцу.

Вторая версия, менее распространённая, но тоже имеющая право на существование: прозвище Апыш от диалектного глагола «апыкать» (в некоторых говорах — задыхаться, тяжело дышать). Такое прозвище могли дать человеку с одышкой или с хриплым голосом. Однако эта гипотеза слабее: глагол редкий, локальный, и фамилий, образованных от него, почти не встречается.

Географически фамилия Апышев тяготеет к Челябинской области, Башкортостану и Оренбуржью. Это подтверждает тюркское происхождение: именно здесь исторически жили башкиры и татары, у которых имя Апыш было в ходу. Встречаются Апышевы и в Казахстане, что тоже логично.

Социальный состав носителей, судя по архивным записям, — в основном крестьяне и казаки. В Оренбургском казачьем войске в XIX веке фиксировались Апышевы, что говорит о возможной службе предков на границе.

Таким образом, фамилия Апышев — это типичная «отчество» от тюркского личного имени Апыш. Ваш предок, скорее всего, был младшим в семье или просто получил ласковое прозвище, которое со временем стало родовым именем.