Фамилия Апышков — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, в её основе лежит нецерковное имя или прозвище Апыш, которое, в свою очередь, могло возникнуть от диалектного слова. В русских говорах, особенно на севере и Урале, «апыш» или «опыш» — это нечто пухлое, вздутое, разбухшее. Так могли прозвать полного, рыхлого человека. В. И. Даль фиксирует слово «опышать» в значении «обрюзгнуть, стать толстым», что подтверждает эту версию.

Модель образования проста и характерна для русских фамилий XVI–XVII веков: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей сын?» — Апышков). Первоначально это было отчество: сын Апыша. Корень слова, скорее всего, исконно славянский и связан с глаголом «пышать» (дышать, веять жаром), откуда и пошло значение «надутый, пышный».

Есть и альтернативная, менее вероятная гипотеза. Апыш могло быть прозвищем от тюркского слова «апыш» (в некоторых языках — «дедушка», «почтенный старец»). Однако для фамилии, бытовавшей в центральных и северных губерниях России, такая версия выглядит натянутой — тюркские заимствования в этой форме редки.

Географически фамилия Апышков встречается точечно, преимущественно в Поволжье и на Урале — регионах, где пересекались северорусские говоры и торговые пути. В дореволюционных справочниках носители этой фамилии чаще всего числились крестьянами или мещанами. Сословная принадлежность невысокая, что типично для фамилий, образованных от бытового прозвища, а не от имени святого или профессии.

В написании возможны варианты «Опышков» (через «о» в корне) — это связано с аканьем, когда безударная «а» произносилась как «о». В документах XIX века могла встречаться путаница, но современная литературная форма закрепилась с буквой «а».