Фамилия Апостови — редкий случай, когда происхождение почти не вызывает споров. Её окончание -ови — не русское, а сербское или черногорское. В сербохорватском языке этот патронимический суффикс означает «сын такого-то», как русское -ович. Поэтому Апостови буквально переводится как «сын Апостола».

Основа фамилии — имя или прозвище Апостол. В православной среде на Балканах это имя давали не в честь двенадцати апостолов напрямую, а в память о святых с таким именем, например, святом Апостоле из числа семидесяти. Но чаще это было прозвище. Апостолом могли назвать странствующего проповедника, учителя грамоты при церкви, человека с даром убеждения или просто набожного прихожанина, любившего цитировать Евангелие.

В России фамилия встречается редко. Попасть она могла несколькими путями. Первый — вместе с сербскими переселенцами, которые в XVIII–XIX веках поступали на русскую службу: военную, гражданскую или духовную. Второй — через украинские земли, входившие в состав Австро-Венгрии, где существовали сербские общины. Третий, более поздний — эмиграция после Первой мировой войны или югославских конфликтов XX века.

Интересная деталь: в русском языке фамилия часто получала ударение на последний слог — Апостови́, по аналогии с сербским произношением. Но в бытовой речи её могли перетягивать на первый слог — А́постови, что типично для адаптации иностранных фамилий. В письменных источниках XIX века встречаются искажённые варианты: Апостович, Апостов, а иногда и полная русификация в Апостолов — но это уже совсем другая история.