Фамилия Апостоли — редкий случай, когда греческое слово пришло в русский язык почти без изменений, сохранив исконное окончание -и. В основе лежит греческое «апостолос» — «посол, посланник». В бытовом смысле так могли прозвать человека, выполнявшего важные поручения или бывшего посредником в переговорах. Однако в православной культуре слово «апостол» прочно связано с двенадцатью ближайшими учениками Христа и семьюдесятью сподвижниками Церкви. Соответственно, прозвище Апостол (а от него — фамилия Апостоли) часто давали человеку набожному, возможно, церковному чтецу или тому, кто в сельской общине читал Евангелие и Апостол во время службы.

Обратите внимание на суффикс. Фамилия застыла в форме родительного падежа множественного числа: Апостоли буквально означает «из рода Апостолов». Такая модель образования типична для южнославянских и греческих фамилий, но не для исконно русских, где преобладают суффиксы -ов/-ев, -ин. Поэтому Апостоли — фамилия не великорусская, а скорее украинская, белорусская или, что вероятнее, греческого происхождения, принесённая на Русь переселенцами или выходцами из духовного сословия. В греческой среде фамилия Апостоли (Αποστολή) встречается часто и означает «посланный», что прямо указывает на род занятий предка — дипломата, гонца или церковного служителя.

В России и Украине фамилия Апостоли — штучная, не массовая. Она могла принадлежать потомкам греческих купцов или священников, осевших в южных губерниях, особенно в Таврической и Херсонской. Известен дворянский род Апостоли, внесённый в родословные книги Бессарабской губернии — его основатели были выходцами из Греции и служили в русской армии. Таким образом, если ваши предки носили эту фамилию, они с высокой вероятностью имели либо церковные корни, либо греческое происхождение, либо связь с дипломатией и торговлей на юге империи. Других версий, например, от тюркских или славянских корней, у фамилии нет — основа греческая, и это главное.