Фамилия Арбинина — женская форма от мужской Арбинин. В русской модели фамилий на -ин почти всегда указывают на принадлежность: «чей?» — «Арбинин», то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Арбиня. Разберём, откуда взялось это исходное слово.

Основа «Арбин-» явно восходит к прозвищу или неканоническому имени Арбиня. В русских говорах слово «арба» означает повозку, телегу, особенно на юге и востоке, где это тюркское заимствование укоренилось. Человек, которого прозвали Арбиня, мог быть возчиком, извозчиком, либо мастером, делавшим арбы. Суффикс -ин в прозвище (а потом и в фамилии) указывает на единичность — «тот, кто связан с арбой». Вторая версия: имя Арбиня могло быть уменьшительной формой от крестильного имени Арсений или Артемий (ср. Арба, Арбуша), но это менее вероятно, так как для русских уменьшительных форм характерны суффиксы -ша, -юня, а не -биня.

Географически фамилия Арбинин встречается редко, её можно отнести к северным и центральным областям, где суффикс -ин особенно типичен (в отличие от юга, где чаще -ов/-ев). Встречается она и у старообрядцев, но это не обязательно — прозвищная основа могла возникнуть в любой среде.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» разбирается модель фамилий от названий повозок: например, Телегин, Дрогин. Арбинин — того же ряда, но с более редкой основой, связанной с тюркским заимствованием. Если ваш предок не был возчиком, возможно, прозвище дали за медлительность или грузность — арба ассоциировалась с неторопливым движением.

Спорных версий, кроме упомянутой связи с Арсением, нет. Правдоподобнее всего — ремесленная или бытовая кличка, закрепившаяся в роду.