Фамилия Арыку — редкий случай, когда написание сразу подсказывает иноязычное происхождение. В русской традиции фамилии почти не заканчиваются на гласный «у» (кроме украинских на -ук, -юк). Поэтому первое, что бросается в глаза: перед нами не исконно русская модель, а, скорее всего, фамилия, зафиксированная на письме в исходной или малоадаптированной форме.

Скорее всего, основа восходит к тюркскому слову «арык» — в переводе с многих тюркских языков (казахского, киргизского, узбекского) это «канал», «арык», то есть искусственный водоток для орошения. В таком случае прозвище Арык мог получить человек, живший у арыка, строивший или чистивший оросительные каналы. В степных и засушливых регионах Средней Азии это занятие было жизненно важным, и прозвище не несло уничижительного оттенка, а скорее указывало на род деятельности.

Другая версия, менее вероятная, но возможная: «арык» в некоторых диалектах (например, в карачаево-балкарском) означает «тощий», «худой». Тогда прозвище Арык давали сухощавому человеку. В пользу первой версии говорит то, что географические прозвища (по месту жительства) встречаются в фамилиях чаще, чем описания внешности, и легче переходят в наследственные фамилии.

Суффикс в фамилии отсутствует — окончание «-у» может быть либо тюркским падежным окончанием (например, дательный падеж), либо просто фиксацией имени в исходной форме. В русском бытовании фамилия Арыку не склонялась бы, оставаясь неизменной, что типично для фамилий, заимствованных в конце XIX — начале XX века.

Встретить такую фамилию можно прежде всего у народов, говорящих на тюркских языках, а также в среде потомков переселенцев из Средней Азии. В русских архивных документах она почти не появляется, что подтверждает её региональную и этническую привязанность.