Фамилия Арыку — редкий случай, когда написание сразу подсказывает иноязычное происхождение. В русской традиции фамилии почти не заканчиваются на гласный «у» (кроме украинских на -ук, -юк). Поэтому первое, что бросается в глаза: перед нами не исконно русская модель, а, скорее всего, фамилия, зафиксированная на письме в исходной или малоадаптированной форме.

С чего здесь стоит начать разбор — с суффикса, точнее, с его отсутствия. В фамилии нет привычного для русского уха -ов, -ин или -ский. Окончание «-у» — это не русский падеж, а, вероятнее всего, либо тюркское падежное окончание (например, дательный падеж), либо просто фиксация имени в исходной форме. В русском бытовании фамилия Арыку не склонялась бы, оставаясь неизменной, что типично для фамилий, заимствованных в конце XIX — начале XX века.

Основа фамилии восходит к тюркскому слову «арык». В переводе с казахского, киргизского, узбекского и многих других тюркских языков это «канал», «арык» — искусственный водоток для орошения. В таком случае прозвище Арык мог получить человек, живший у арыка, строивший или чистивший оросительные каналы. В степных и засушливых регионах Средней Азии это занятие было жизненно важным, и прозвище не несло уничижительного оттенка, а скорее указывало на род деятельности. Географические прозвища (по месту жительства) встречаются в фамилиях чаще, чем описания внешности, и легче переходят в наследственные — это делает первую версию основной.

Другая версия, менее вероятная, но возможная: «арык» в некоторых диалектах (например, в карачаево-балкарском) означает «тощий», «худой». Тогда прозвище Арык давали сухощавому человеку. Однако в пользу первой версии говорит и то, что занятие ирригатора было социально значимым, а не бытовым признаком.

Встретить такую фамилию можно прежде всего у народов, говорящих на тюркских языках, а также в среде потомков переселенцев из Средней Азии. В русских архивных документах она почти не появляется, что подтверждает её региональную и этническую привязанность. Фамилия Арыку — редкий пример, когда написание не обрусело, а сохранило первоначальную грамматическую форму, и это делает её особенно ценной для этимолога.