Фамилия Арженикова — женская форма фамилии Аржеников, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Арженик. Слово «арженик» или «аржаник» — диалектное, распространённое в южнорусских и украинских говорах. Оно означает «ржаной хлеб» или «изделие из ржаной муки», а в более узком смысле — «ржаной каравай». Человек мог получить такое прозвище за любовь к ржаному хлебу, за профессию пекаря, который его выпекал, или даже за характер — «ржаной» в народе иногда называли крепкого, простого, но надёжного человека.

Модель образования фамилии типична для восточнославянской традиции: суффикс -ов-/-ев- (в основе «Арженик» переходит в «Аржеников») указывает на принадлежность к главе семьи. То есть Аржеников — это сын или потомок Арженика. Суффикс -ик в прозвище — уменьшительно-ласкательный или указывающий на предмет, так что буквально Арженик — это «маленький ржаной хлеб» или «тот, кто связан с рожью». Фамилия довольно редкая, и её география тяготеет к регионам, где говорили на «акающих» говорах — например, к Рязанской, Тамбовской, Воронежской областям, а также к югу России и Украине.

В старых документах встречаются похожие варианты: Аржаников, Аржанинов — все от той же основы «аржан-» (диалектное «ржаной»). Сравните с фамилией Ржаников: разница только в диалектном произношении — там, где «акали», говорили «аржаной», а где «окали» — «ржаной». Таким образом, Арженикова и Ржаникова — однокоренные фамилии, разошедшиеся из-за особенностей местного говора. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в сельской местности, занимались земледелием или выпечкой хлеба, а сама фамилия закрепилась за ними не ранее XVII–XVIII веков, когда крестьянам начали массово присваивать фамилии по прозвищам.