Фамилия Асафов образована от имени Асафий — одного из вариантов имени Иосаф. Это имя попало в русский язык через греческую традицию, а греки, в свою очередь, заимствовали его у древних евреев. С древнееврейского оно переводится как «Бог собирал». В библейских текстах Асафий — известный певец и пророк, сын Берехии из рода Гирсона. Он руководил хором левитов при царе Давиде, а его имя связывали с даром предвидения. Кроме того, это имя носили отец летописца Иоаха и надзиратель за царскими лесами при дворе Артаксеркса. Потомки человека с таким именем со временем получили фамилию Асафов.

Словообразовательная модель здесь простая и типичная: к основе имени Асаф (усечённая форма от Асафий) добавили типичный русский патронимический суффикс -ов. Такая модель указывает на происхождение от отца: «сын Асафа». Фамилия закрепилась в среде православного духовенства и крестьянства, где библейские имена были особенно распространены. При этом в быту имя Асафий часто сокращали до Асаф, что и дало более короткую основу фамилии.

Стоит отметить, что параллельно существует фамилия Асафьев — она образована от полной формы имени (Асафий) с помощью суффикса -ев. Оба варианта встречаются в русских документах с XVII века, но Асафов встречается чаще, что говорит о большей популярности краткой формы в повседневном общении.

Географически фамилия Асафов тяготеет к центральным и южным регионам России: её носители фиксируются в архивных записях из Тамбовской, Рязанской и Воронежской губерний. Встречается она и в среде старообрядцев, где библейские имена сохраняли особое значение.