Фамилия Ашмянцов — редкий случай, когда географическое название почти полностью вытеснило из фамилии исходный смысл. Если вы её носитель, велика вероятность, что ваши предки родом с территории современной Беларуси или западной России.

Основа фамилии — топоним Ашмяны. Это город в Гродненской области Беларуси (исторически — Ошмяны, Ошмянский повет). Жителей этого города и окрестностей называли «ашмянцы» (или «ошмянцы»). Притяжательный суффикс -ов- в конце фамилии (Ашмянц-ов) работает по той же модели, что и в фамилиях Москвичёв, Тверитинов, Псковитинов: он указывает на принадлежность к группе людей, объединённых местом происхождения. То есть Ашмянцов буквально означает «сын ашмянца» или «потомок выходца из Ошмян».

Интересная деталь — написание через «а» в корне. В белорусском произношении название города звучит как «Ашмяны», и это акающее произношение закрепилось в фамилии. В русских документах XIX века вы бы чаще встретили форму «Ошмянцов», но вариант «Ашмянцов» — верный признак того, что фамилия фиксировалась на слух, с местного говора, а не по церковнославянской или петербургской орфографии.

Сословно носители фамилии могли быть кем угодно — от крестьян до мещан. Ошмяны были небольшим уездным городом с развитой торговлей, поэтому предки-ашмянцы могли быть ремесленниками, купцами или просто людьми, перебравшимися в другой регион и получившими прозвище по месту выхода. Фамилия не дворянская и не духовная, а «географическая», что типично для поздних русских фамилий, оформлявшихся в XVIII–XIX веках.

Сравните с однокоренными, но более редкими формами: Ашмянцев (с тем же значением, но другой суффиксальной моделью) или Ашмянский (польско-шляхетский вариант, с окончанием -ский). Ваш вариант с -ов — самый массовый для этой основы, но сама фамилия остаётся очень редкой.